New Yorker writer Alec Wilkinson struggled with maths at school, finding inspiration in literature instead. But aged 65, in the hope of unlocking a new part of his brain, he decided to put the limits of his intelligence to the test
When I read Memories, Dreams, Reflections, I felt a kinship with Carl Jung, who described math class as “sheer terror and torture”, since he was “amathematikos”, which means something like nonmathematical. I am by nature a self-improver. I have read Gibbon, I have read Proust. I read the Old and New Testaments and most of Shakespeare. I studied French. I have meditated. I jogged. I learned to draw, using the right side of my brain. A few years ago I decided to see if I could learn simple math, adolescent math, what in the 18th century was called pure mathematics: algebra, geometry and calculus. I didn’t understand why it had been so hard. Had I just fallen behind and never caught up? Was I not smart enough? Was I somehow unfitted to learn a logical, complex and systematised discipline? Or was the capacity to learn math like any other attribute, talent for music, say? Instead of tone deaf, was I math deaf? And if I wasn’t and could correct this deficiency, what might I be capable of at 65 that I hadn’t been capable of before? I pictured mathematics as a landscape and myself as if contemplating a journey from which I might return like Marco Polo, having seen strangesights and with undreamt-of memories.
I could have taken a class, but I had already failed math in a class. Also, I didn’t want to be subject to the anxiety of keeping up with a class or slowing one down because I had my hand in the air all the time. I didn’t want a class for older people, because I didn’t want to be talked down to – and more cheerfully than in usual life, the way nurses and flight attendants talk to you. I could have sat in a class of low-achievers, a remedial class, but they aren’t easy to find. I arranged to occupy a chair one afternoon in an algebra class at my old school, where 12-year-olds ran rings around me. The teacher assigned problems in groups of five, and by the time I had finished the first problem they had finished all of them correctly. They were polite about it, and winning in the pleasure they took in competing with one another, but it was startling to note how much faster they moved than I did. I felt as if we were two different species.
Having skipped me, the talent for math concentrated extravagantly in one of my nieces, Amie Wilkinson, a professor at the University of Chicago, and I figured she could teach me.
“How do you think this will go?” I asked Amie.
“If I had to guess, I would say you will probably overthink.”
“How so?”
“X is a useful thing. I can solve for it – I can manipulate it – and I can hear you say, ‘What does that mean?’”
“Do I whine like that,” I thought, then I said: “What does it mean?”
“It’s a symbol that stands for what you want it to stand for.”
“What if I don’t know what I want it to stand for?”
“See, this is what I’m talking about.”
“Well, wait, that’s…”
“Here is some advice,” she said firmly. “I get it that you try to put things into a framework that you can understand. That’s fine, but at first, until you become comfortable with the formal manipulation, you have to be like a child.”
Alec Wilkinson’s maths teacher, his niece Amie Wilkinson – professor of mathematics at the University of Chicago. Photograph: Jessica Wynne
To prepare for our meeting, Amie suggested that I read Algebra for Dummies, which I had hardly begun when it was borne in on me that it didn’t matter who it was for, it was still algebra. Reading the book, I am surprised to find that I recall almost nothing of algebra. I had got lost so quickly that very little had made an impression. I can still recite the prologue to the Canterbury Tales in Middle English, which I was required to learn as a senior in high school. I remember “kingdom, phylum, class, order, family, genus, species”. And that in 585BC, Thales predicted an eclipse of the sun. With algebra, I come up empty.
When I thought I had read a sufficient amount, I went to Chicago to see Amie. I sat beside her on a couch in her living room. I held my pencil and notebook ready. My manner was like that of the novice on his first day in the monastery, poised to have the head monk reveal how to find God. She said: “I’m not sure where to start.” I had been expecting her to say something like:“There’s a train in Omaha heading for Dallas and leaving at three in the afternoon.” Instead, we sat silently. A dog barked. I smiled weakly.
There is a belief among certain academics that a subject is less efficiently learned from an adept than from someone who is studying it or has just finished studying it. The adept’s long acquaintance makes it difficult for him or her to see the subject in its simpler terms or to appreciate what it is like to approach the subject as a greenhorn. As I sat uneasily beside Amie, it dawned on me that I was asking a mathematician with a trophy case whose standing is international to teach me math that she had learned nearly half a century earlier as a precocious child and hadn’t used since. Furthermore, she had for the most part embraced it intuitively and then layered upon it many other practices, explorations and diversions. Her learning had a kind of family tree of associations, and all I had was what I had picked up piecemeal in a few weeks of study. What I might have said to her of the difficulty I was having was: “Pretend you were a child receiving this information for the first time. Can you remember how you heard it so that it was sensible to you?”
A further complication developed, which is that what is difficult for me had not been difficult for her, and I don’t think she could see why I had such trouble learning what she had found simple. “How do you think you would have thought about this if you hadn’t been able to think of it as you had,” is the kind of question I would have had to ask, and being philosophical more than practical, it isn’t a discussion that would have solved my difficulties. I might have learned something about her, but not likely anything about math. In On Proof and Progress in Mathematics, William Thurston writes: “The transfer of understanding from one person to another is not automatic. It is hard and tricky.” We had been working together in a halting way for several weeks when I realised that I was going to have to learn a lot of this on my own.
“I am having to learn how to learn. In school they expect you to learn, but they don’t teach you how to learn.”
We don’t often encounter the limits of our intelligence, but the way I struggled with algebra sometimes made me wonder if I was finding my own. At such times I felt myself to be a poorly equipped version of human possibility, sort of a discard. I was also almost daily reminded of how some things needed to be learned more slowly. Meanwhile, I was harassed by my upbringing to believe that I had to work quickly; any half-smart person could work out a problem given sufficient time. I found these attitudes difficult to combine.
Sometimes I realised that I was talking to different parts of myself, and the exchange was not polite. Occasionally, I got good at operations that were hard at first. This happened with factoring, a process in algebra of simplifying expressions, and with expanding, which is the opposite of factoring. The axioms of arithmetic imply that when you expand (a + b)2, for example, you get a2 + 2ab + b2 in the following way: (a + b)2 is equal to (a + b)(a + b). Each term in one parentheses multiplies the terms in the other: a × a = a2 ; a × b = ab; b × a = ab; b × b = b2. Combining the terms, a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. In a similar way, a2 – b2, a squared number subtracted from another squared number, called a difference of squares, becomes (a – b)(a + b), which becomes a2 + ab – ab – b2, which is a2 – b2. Simple, but I really liked it.
As the formulas became more complicated, there were more steps, each of which followed from the one before it, so that in addition to finding the answer, there was the pleasure of enacting a procedure properly, plus no textbook skipped the steps. Each time I turned a page and saw more factoring, I was pleased. It was like being good at spelling and wanting to be asked more words. Accompanying my pleasure, though, was a voice saying: “Listen, Slick, this is algebra for kids. We can throw problems at you, you won’t even know what they mean.”
Sometimes I dreamed that there were numbers falling from the sky into chasms I couldn’t see the bottom of.
As I progressed, my eye progressed, and more than solving algebra problems by grasping their design, I became more clever at reading questions. To do better, though, I had to become vigilant. For someone who thought that there were shortcuts and faster passageways to learning, this was unwelcome. I had never understood that learning needs to be done patiently. One can be impatient to learn or for learning in general, but that is a matter of temperament. I am having to learn how to learn. In school they expect you to learn, but they don’t teach you how to learn, at least they didn’t in my childhood.
I am accustomed to remembering what I hear and being able to draw on it. Learning algebra requires a secondary use of information, though, a sorting and referencing, a repetition of experience, so that it actually is experience. With algebra I’m not simply collecting information, I am having to classify and comprehend it. We do this naturally as children in classrooms, partly because the distant future seems as if it will never arrive, but it is a different matter to be older and feel that one’s capital of time is remorselessly diminishing. Such a consideration adds a complicating haste and impatience.
The ability to learn mathematics is thought to decline around 40, when the brain begins slowing its handling of procedural operations such as calculating. Older people learn and forget at roughly the same pace that younger people do, but calculating takes an older person twice as long. In the paper Acquiring Skill at Mental Calculation in Adulthood, Neil Charness and Jamie Campbell say that middle-aged people perform as older ones do, but if they practise, they perform more as younger people do. If speed is valued more than accuracy, the decline in ability is obvious. If accuracy is valued more than speed, the decline is less obvious and maybe not even very pronounced. Younger people tend to read faster than older people. Older people tend to remember more of what they’ve read.
From brain scans it appears that older people engage more of their faculties in solving a problem than young people do. The scaffolding theory of ageing and cognition says that brains respond to declines by recruiting assistance – that is, by replacing a response typically dedicated to a single area with a pattern of layered responses involving several areas. “Harold” is an acronym for “hemispheric asymmetry reduction in older adults”, a form of brain plasticity. I know about it from the research article Creativity and Ageing by Gene Cohen. Cohen says that the brains of older people may enlist areas that usually have one function to collaborate with another function, which is called bilateralisation. Cohen likens it to the brain’s moving, perhaps in a compensatory way, “to an all-wheel drive”.
Carol D Ryff at the University of Wisconsin’s Institute of Ageing told me about stereotype embodiment theory, which was proposed by the Yale psychologist Becca Levy. It says that the culture presents older people as moving slowly, being hard of hearing, talking too loud, and unable to read small print. These depictions are funny when we’re young; then we grow old and enact them, and they undermine a person’s sense of wellbeing. “There are certain fields where you get better with age, though,” Ryff told me. “You’re not going to have a 22-year-old wunderkind psychotherapist. Most of Freud’s brilliant theories didn’t arrive until his 50s.” I told Ryff that I was trying to learn math, and that I had a math allergy. “Someone with math anxiety, later in life, with a different perspective can really shine and discover something new,” she said. “It’s incredibly healthy for the brain as well.”
Dividing the fraction 7/2 by 2, I confused the properties of exponents, and thought that the product is 7, since 7 × 2 = 14 and 14/2 = 7, when in fact the answer is 7/4, since dividing a fraction by 2 is the same as multiplying by 1/2, but I got the answer wrong and got angry at math and called Amie, and she wouldn’t talk to me until I calmed down. She wasn’t always calm, either. Once I heard Benson, her husband, in the background say: “Why are you yelling at him?” When I had worn Amie’s patience too thin, I would call Deane Yang, my friend who is a mathematics professor at NYU.
“The way you remember procedures is you remember why,” he said.
“Because?”
“Because people learn math as a collection of procedures,” he said. “When things get difficult, they’re lost, and math becomes religion class. The teacher says what’s right and wrong, and for all you know math came out of the sky, and some prophet told you how to do it, and it’s just blind belief then. The goal is to take on questions that appear to be complicated, and to recognise that a complicated question can be broken down into simpler questions, some of which can be answered independently of one another.”
“With math you have to be very, very disciplined,” Deane said. “Normally with algebra, you’re trying to make something complicated simpler, but often, temporarily, you have to make it more complicated. The only way to be properly disciplined is to remember exactly what you’re allowed to do, and what you’re not allowed to do. You have to write everything down, line by line. Math is painstaking.” These remarks had an almost Zen-like forcefulness for me. They were both abstract and practical, they spoke to my distress, and for a while things got better.
I finished algebra plagued by the feeling that I had to get every problem right. I had started hopefully and been throttled. What I had wished for was to see algebra as rational and cohesive, and therefore benign, so that I could dispose of the mystery it had left me with. If I were able to do that, I would have made use of ways of thinking that challenged me to expand my intellect – my capacity for regarding problems whose solutions require the management of symbols, something I had never been good at.
The enlargement of one’s intellectual reach isn’t the kind of circumstance a person can identify empirically. One can only sense it about oneself. I felt I was beginning to change, to a degree, perhaps only in a cursory way, but I also felt, superstitiously, that to acknowledge it might be prideful, which might lead to it being revoked by whatever agency it is that lurks inside superstitious moral attitudes. Anyway, I finished algebra, I came to the end of the textbook. It had taken five months, not six weeks. I had learned things, though, I had some new skills, even if rudimentary ones. I could do things I hadn’t been able to do, and I was pleased. The accomplishment was not substantial, but it was my own, and I had worked for it. I raised a private glass to myself and said, “Well done,” in the middle of an afternoon – then I went on to geometry.
New Yorker writer Alec Wilkinson struggled with maths at school, finding inspiration in literature instead. But aged 65, in the hope of unlocking a new part of his brain, he decided to put the limits of his intelligence to the test
I don’t see how it can harm me now to reveal that I only passed math in high school because I cheated. I could add and subtract and multiply and divide, but I entered the wilderness when words became equations. On test days I sat beside smart boys and girls whose handwriting I could read and divided my attention between his or her desk and the teacher’s eyes. To pass Algebra II, I copied a term paper and nearly got caught. By then I was going to a boys’ school, and it gives me pause to think that I might have been kicked out and had to begin a different life, knowing different people, having different experiences, and eventually erasing the person I am now.
When I read Memories, Dreams, Reflections, I felt a kinship with Carl Jung, who described math class as “sheer terror and torture”, since he was “amathematikos”, which means something like nonmathematical. I am by nature a self-improver. I have read Gibbon, I have read Proust. I read the Old and New Testaments and most of Shakespeare. I studied French. I have meditated. I jogged. I learned to draw, using the right side of my brain. A few years ago I decided to see if I could learn simple math, adolescent math, what in the 18th century was called pure mathematics: algebra, geometry and calculus. I didn’t understand why it had been so hard. Had I just fallen behind and never caught up? Was I not smart enough? Was I somehow unfitted to learn a logical, complex and systematised discipline? Or was the capacity to learn math like any other attribute, talent for music, say? Instead of tone deaf, was I math deaf? And if I wasn’t and could correct this deficiency, what might I be capable of at 65 that I hadn’t been capable of before? I pictured mathematics as a landscape and myself as if contemplating a journey from which I might return like Marco Polo, having seen strange sights and with undreamt-of memories.
Alec Wilkínson
Nhà văn Alec Wilkinson của tờ New Yorker đã phải vật lộn với các môn toán ở trường, thay vào đó là tìm cảm hứng cho văn học. Nhưng ở tuổi 65, với hy vọng mở khóa một phần não mới của mình, ông đã quyết định đặt giới hạn trí thông minh của mình để kiểm tra
Tôi không hiểu bây giờ nó có thể gây hại cho tôi như thế nào khi tiết lộ rằng tôi chỉ đậu môn toán ở trường trung học vì tôi đã gian lận. Tôi có thể cộng và trừ, nhân và chia, nhưng tôi đã bước vào vùng hoang dã khi các từ trở thành phương trình. Vào những ngày kiểm tra, tôi ngồi bên cạnh những cậu bé và cô bé thông minh có chữ viết tay mà tôi có thể đọc được và phân chia sự chú ý của tôi giữa bàn của cậu ấy hoặc cô ấy và đôi mắt của giáo viên. Để vượt qua Đại số II, tôi đã sao chép một học kỳ và suýt bị bắt. Lúc đó tôi đang đi học ở một trường nam sinh, và điều đó khiến tôi phải dừng lại khi nghĩ rằng mình có thể đã bị đuổi ra khỏi nhà và phải bắt đầu một cuộc sống khác, quen biết những người khác nhau, có những trải nghiệm khác nhau, và cuối cùng xóa bỏ con người tôi bây giờ.
Khi tôi đọc Ký ức, Giấc mơ, Suy tư, tôi cảm thấy có mối quan hệ họ hàng với Carl Jung, người đã mô tả lớp học toán là “sự khủng bố và tra tấn tuyệt đối”, vì anh ta là “amathematikos”, có nghĩa là một thứ gì đó giống như phi toán học. Bản chất tôi là một người thích tự ứng biến. Tôi đã đọc Gibbon, tôi đã đọc Proust. Tôi đọc Cựu ước và Tân ước và hầu hết Shakespeare. Tôi học tiếng Pháp. Tôi đã thiền định. Tôi chạy bộ. Tôi học vẽ bằng cách sử dụng phần não bên phải của mình. Vài năm trước, tôi quyết định xem liệu tôi có thể học toán đơn giản, toán tuổi vị thành niên, thứ mà ở thế kỷ 18 được gọi là toán học thuần túy: đại số, hình học và giải tích. Tôi không hiểu tại sao nó lại khó khăn như vậy. Có phải tôi đã bị tụt lại phía sau và không bao giờ đuổi kịp không? Tôi đã không đủ thông minh? Tôi có phải bằng cách nào đó không thích hợp để học một ngành hợp lý, phức tạp và có hệ thống không? Hay năng lực học toán giống như bất kỳ thuộc tính nào khác, tài năng về âm nhạc, chẳng hạn? Thay vì điếc giọng điệu, tôi có phải bị điếc toán học không? Và nếu tôi không và có thể sửa chữa sự thiếu hụt này, tôi có thể có khả năng gì ở tuổi 65 mà trước đây tôi không có được? Tôi hình dung toán học như một phong cảnh và bản thân tôi như thể đang suy ngẫm về một cuộc hành trình mà từ đó tôi có thể trở lại giống như Marco Polo, đã nhìn thấy những khoảng cách và với những ký ức không thể mơ mộng.
Tôi có thể đã học một lớp, nhưng tôi đã trượt môn toán trong một lớp. Ngoài ra, tôi không muốn phải lo lắng về việc theo kịp một lớp học hoặc làm chậm một lớp học vì tôi luôn luôn cầm trên tay. Tôi không muốn một lớp học dành cho những người lớn tuổi, vì tôi không muốn bị bắt chuyện – và vui vẻ hơn so với cuộc sống bình thường, như cách các y tá và tiếp viên hàng không nói chuyện với bạn. Lẽ ra, tôi có thể ngồi trong một lớp học của những người có thành tích thấp, một lớp học phụ đạo, nhưng chúng không dễ tìm. Tôi sắp xếp để chiếm một chiếc ghế vào một buổi chiều trong lớp đại số ở trường cũ của tôi, nơi những đứa trẻ 12 tuổi chạy vòng quanh tôi. Giáo viên đã giao các bài toán theo nhóm năm người, và vào thời điểm tôi hoàn thành bài toán đầu tiên, họ đã hoàn thành đúng tất cả các bài toán đó. Họ lịch sự về điều đó, và chiến thắng trong niềm vui khi họ thi đấu với nhau, nhưng thật đáng ngạc nhiên khi ghi nhận rằng họ di chuyển nhanh hơn tôi biết bao nhiêu. Tôi cảm thấy như thể chúng tôi là hai loài khác nhau.
Bỏ qua tôi, tài năng toán học tập trung vượt trội ở một trong những cháu gái của tôi, Amie Wilkinson, giáo sư tại Đại học Chicago, và tôi nghĩ rằng cô ấy có thể dạy tôi.
“Bạn nghĩ điều này sẽ diễn ra như thế nào?” Tôi hỏi Amie.
“Nếu tôi phải đoán, tôi sẽ nói rằng bạn có thể sẽ suy nghĩ quá nhiều.”
“Làm sao vậy?”
“X là một thứ hữu ích. Tôi có thể giải quyết nó – tôi có thể thao túng nó – và tôi có thể nghe bạn nói, “Điều đó có nghĩa là gì?”
“Tôi có rên rỉ như vậy không,” tôi nghĩ, rồi tôi nói: “Nó có nghĩa là gì?”
“Đó là một biểu tượng đại diện cho những gì bạn muốn nó đại diện cho.”
“Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi không biết mình muốn nó đại diện cho điều gì?”
“Thấy chưa, đây là điều tôi đang nói.”
“Chà, chờ đã, đó là…”
“Đây là một số lời khuyên,” cô nói chắc nịch. “Tôi hiểu rằng bạn cố gắng đưa mọi thứ vào một khuôn khổ mà bạn có thể hiểu được. Điều đó không sao cả, nhưng lúc đầu, cho đến khi bạn cảm thấy thoải mái với các thao tác chính thức, bạn phải giống như một đứa trẻ ”.
Để chuẩn bị cho cuộc gặp gỡ của chúng tôi, Amie đề nghị tôi đọc Đại số cho những hình thù, mà tôi đã khó bắt đầu khi tôi bắt đầu nhận ra rằng không quan trọng nó dành cho ai, nó vẫn là đại số. Đọc cuốn sách, tôi ngạc nhiên khi thấy mình hầu như không nhớ gì về đại số. Tôi đã bị lạc quá nhanh nên rất ít để lại ấn tượng. Tôi vẫn có thể kể lại phần mở đầu của Câu chuyện Canterbury bằng tiếng Anh trung học, mà tôi bắt buộc phải học khi còn là học sinh cuối cấp trung học. Tôi nhớ “vương quốc, ngành, lớp, thứ tự, họ, chi, loài”. Và rằng vào năm 585BC, Thales đã dự đoán về hiện tượng nhật thực của mặt trời. Với đại số, tôi đi đến trống rỗng.
Khi tôi nghĩ rằng mình đã đọc đủ một lượng, tôi đến Chicago để gặp Amie. Tôi ngồi bên cô ấy trên một chiếc ghế dài trong phòng khách của cô ấy. Tôi đã chuẩn bị sẵn bút chì và sổ ghi chép. Cách cư xử của tôi giống như một người mới vào ngày đầu tiên vào tu viện, sẵn sàng để vị sư trưởng tiết lộ cách tìm thấy Chúa. Cô ấy nói: “Tôi không biết phải bắt đầu từ đâu.” Tôi đã mong đợi cô ấy nói điều gì đó như: “Có một chuyến tàu ở Omaha hướng đến Dallas và rời đi lúc ba giờ chiều.” Thay vào đó, chúng tôi ngồi im lặng. Một con chó sủa. Tôi cười yếu ớt.
Có một số học giả tin rằng một chủ đề được học từ một người lão luyện kém hiệu quả hơn là từ một người đang nghiên cứu nó hoặc vừa mới học xong. Sự quen biết lâu năm của người lão luyện khiến họ khó nhìn đối tượng theo những thuật ngữ đơn giản hơn hoặc đánh giá cao cảm giác tiếp cận đối tượng với tư cách là một chú chim đầu đàn. Khi ngồi bên cạnh Amie một cách bất an, tôi chợt nhận ra rằng mình đang nhờ một nhà toán học với chiếc cúp vô địch quốc tế dạy tôi môn toán mà cô ấy đã học gần nửa thế kỷ trước khi còn là một đứa trẻ sơ sinh và đã không sử dụng kể từ đó. Hơn nữa, phần lớn cô đã nắm bắt nó một cách trực quan và sau đó dựa trên nó nhiều thực hành, khám phá và đa dạng khác. Việc học của cô ấy có một loại cây liên kết gia đình, và tất cả những gì tôi có là những gì tôi nhặt được từng mảnh trong vài tuần học. Những gì tôi có thể đã nói với cô ấy về khó khăn mà tôi đang gặp phải là: “Hãy giả vờ như một đứa trẻ nhận được thông tin này lần đầu tiên. Bạn có thể nhớ bạn đã nghe nó như thế nào để nó cảm thấy hợp lý với bạn không? ”
Một điều phức tạp nữa được phát triển, đó là những gì khó đối với tôi không hề khó đối với cô ấy, và tôi không nghĩ rằng cô ấy có thể hiểu tại sao tôi lại gặp khó khăn khi học những gì cô ấy thấy đơn giản. “Làm thế nào để bạn nghĩ rằng bạn sẽ nghĩ về điều này nếu bạn không thể nghĩ về nó như bạn đã có,” là loại câu hỏi mà tôi sẽ phải hỏi, và mang tính triết học nhiều hơn là thực tế, nó không phải một cuộc thảo luận sẽ giải quyết được những khó khăn của tôi. Tôi có thể đã học được điều gì đó về cô ấy, nhưng không có khả năng là bất cứ điều gì về toán học. Trong Về Chứng minh và Tiến bộ trong Toán học, William Thurston viết: “Việc chuyển giao sự hiểu biết từ người này sang người khác không phải là tự động. Thật khó và gian nan ”. Chúng tôi đã làm việc cùng nhau một cách tạm ngừng trong vài tuần khi tôi nhận ra rằng tôi sẽ phải tự học rất nhiều điều này.
“Tôi đang phải học cách học. Ở trường họ mong bạn học, nhưng họ không dạy bạn cách học.”
Chúng ta không thường xuyên gặp phải giới hạn về trí thông minh của mình, nhưng cách tôi đấu tranh với đại số đôi khi khiến tôi tự hỏi liệu tôi có đang tìm ra thứ của riêng mình hay không. Vào những lúc đó, tôi cảm thấy mình là một phiên bản được trang bị kém hơn về khả năng của con người, một loại đồ bỏ đi. Tôi cũng gần như được nhắc nhở hàng ngày về cách một số điều cần phải học chậm hơn. Trong khi đó, tôi bị quấy rối bởi sự giáo dục của mình khi tin rằng tôi phải làm việc nhanh chóng; bất kỳ người thông minh nửa vời nào cũng có thể giải quyết một vấn đề nếu có đủ thời gian. Tôi thấy những thái độ này khó kết hợp với nhau.
Đôi khi tôi nhận ra rằng tôi đang nói chuyện với những bộ phận khác nhau của bản thân, và cuộc trao đổi không lịch sự. Thỉnh thoảng, tôi thành thạo trong những thao tác khó lúc đầu. Điều này xảy ra với bao thanh toán, một quá trình trong đại số để đơn giản hóa các biểu thức và mở rộng, điều này ngược lại với bao thanh toán. Tiên đề số học ngụ ý rằng khi bạn khai triển (a + b) 2, chẳng hạn, bạn nhận được a2 + 2ab + b2 theo cách sau: (a + b) 2 bằng (a + b) (a + b) . Mỗi số hạng trong một dấu ngoặc sẽ nhân các số hạng trong dấu ngoặc đơn kia: a × a = a2; a × b = ab; b × a = ab; b × b = b2. Kết hợp các số hạng, a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Theo cách tương tự, a2 – b2, một số bình phương bị trừ khỏi một số bình phương khác, được gọi là hiệu bình phương, trở thành (a – b) (a + b), trở thành a2 + ab – ab – b2, là a2 – b2. Đơn giản, nhưng tôi thực sự thích nó.
Khi các công thức trở nên phức tạp hơn, có nhiều bước hơn, mỗi bước được thực hiện theo bước trước đó, để ngoài việc tìm ra câu trả lời, bạn có thể cảm thấy thích thú khi thực hiện một quy trình đúng cách, cộng với việc không có sách giáo khoa nào bỏ qua các bước. Mỗi lần tôi lật một trang và nhìn thấy nhiều bao thanh toán hơn, tôi cảm thấy hài lòng. Nó giống như giỏi chính tả và muốn được hỏi nhiều từ hơn. Tuy nhiên, kèm theo niềm vui của tôi là một giọng nói: “Nghe này, Slick, đây là đại số cho trẻ em. Chúng tôi có thể ném các vấn đề vào bạn, thậm chí bạn sẽ không biết chúng có ý nghĩa gì ”.
Đôi khi tôi mơ thấy có những con số từ trên trời rơi xuống vực sâu thăm thẳm mà tôi không thể nhìn thấy đáy.
Khi tôi tiến bộ, mắt tôi tiến bộ hơn, và hơn cả việc giải các bài toán đại số bằng cách nắm bắt thiết kế của chúng, tôi trở nên thông minh hơn trong việc đọc các câu hỏi. Tuy nhiên, để làm tốt hơn, tôi phải cảnh giác. Đối với một người nghĩ rằng có những con đường tắt và con đường học tập nhanh hơn, điều này không được hoan nghênh. Tôi chưa bao giờ hiểu rằng việc học cần phải được thực hiện một cách kiên nhẫn. Người ta có thể thiếu kiên nhẫn để học hoặc cho việc học nói chung, nhưng đó là vấn đề về tính khí. Tôi đang phải học cách học. Ở trường, họ mong bạn học, nhưng họ không dạy bạn cách học, ít nhất là họ đã không dạy trong thời thơ ấu của tôi.
Tôi quen với việc ghi nhớ những gì tôi nghe được và có thể rút ra từ đó. Tuy nhiên, việc học đại số đòi hỏi sử dụng thông tin thứ cấp, phân loại và tham khảo, lặp lại kinh nghiệm, để nó thực sự là kinh nghiệm. Với đại số, tôi không chỉ đơn giản là thu thập thông tin, tôi phải phân loại và hiểu nó. Chúng ta làm điều này một cách tự nhiên khi còn là những đứa trẻ trong lớp học, một phần bởi vì tương lai xa dường như sẽ không bao giờ đến, nhưng việc lớn hơn và cảm thấy rằng vốn thời gian của một người đang giảm đi không ngừng lại là một vấn đề khác. Việc xem xét như vậy gây thêm phức tạp cho sự vội vàng và thiếu kiên nhẫn.
Khả năng học toán được cho là sẽ suy giảm vào khoảng 40 tuổi, khi bộ não bắt đầu xử lý chậm lại các hoạt động thủ tục như tính toán. Những người lớn tuổi học và quên với tốc độ gần giống như những người trẻ tuổi, nhưng tính toán thì một người lớn tuổi lâu hơn gấp đôi. Trong bài báo Có được Kỹ năng Tính toán Tinh thần ở Tuổi trưởng thành, Neil Charness và Jamie Campbell nói rằng những người trung niên hoạt động như những người lớn tuổi hơn, nhưng nếu họ luyện tập, họ sẽ hoạt động nhiều hơn những người trẻ tuổi. Nếu tốc độ được coi trọng hơn độ chính xác, khả năng suy giảm là điều hiển nhiên. Nếu độ chính xác được coi trọng hơn tốc độ, thì sự suy giảm sẽ ít rõ ràng hơn và thậm chí có thể không rõ rệt. Những người trẻ tuổi có xu hướng đọc nhanh hơn những người lớn tuổi. Những người lớn tuổi có xu hướng nhớ nhiều hơn những gì họ đã đọc.
Từ kết quả quét não, người ta thấy rằng những người lớn tuổi tham gia nhiều hơn vào khả năng của họ trong việc giải quyết một vấn đề hơn so với những người trẻ tuổi. Lý thuyết giàn giáo về quá trình lão hóa và nhận thức nói rằng bộ não phản ứng với sự suy giảm bằng cách tuyển dụng sự hỗ trợ – nghĩa là bằng cách thay thế một phản ứng thường dành riêng cho một lĩnh vực bằng một mô hình phản hồi phân lớp liên quan đến một số lĩnh vực. “Harold” là từ viết tắt của “giảm bất đối xứng bán cầu ở người lớn tuổi”, một dạng dẻo của não. Tôi biết về nó từ bài báo nghiên cứu Sáng tạo và Lão hóa của Gene Cohen. Cohen nói rằng bộ não của những người lớn tuổi có thể tranh thủ các khu vực thường có một chức năng để phối hợp với một chức năng khác, được gọi là song phương hóa. Cohen ví nó với sự chuyển động của bộ não, có lẽ theo một cách bù trừ, “với một chiếc xe bốn bánh”.
Carol D Ryff tại Viện Lão hóa của Đại học Wisconsin nói với tôi về lý thuyết hiện thân theo khuôn mẫu, được đề xuất bởi nhà tâm lý học Yale Becca Levy. Nó nói rằng văn hóa cho thấy những người lớn tuổi di chuyển chậm chạp, khó nghe, nói quá to và không thể đọc chữ in nhỏ. Những mô tả này thật buồn cười khi chúng ta còn trẻ; sau đó chúng ta già đi và ban hành chúng, và chúng làm suy yếu cảm giác hạnh phúc của một người. Ryff nói với tôi: “Có những lĩnh vực nhất định mà bạn trở nên tốt hơn theo tuổi tác. “Bạn sẽ không có một nhà trị liệu tâm lý wunderkind 22 tuổi. Hầu hết các lý thuyết xuất sắc của Freud đã không xuất hiện cho đến khi ông ấy 50 tuổi. ” Tôi nói với Ryff rằng tôi đang cố gắng học toán, và tôi bị dị ứng toán học. Cô nói: “Ai đó mắc chứng lo âu về toán học, sau này lớn lên, với một góc nhìn khác có thể thực sự tỏa sáng và khám phá ra điều gì đó mới mẻ. “Nó cũng cực kỳ lành mạnh cho não.”
Chia phân số 7/2 cho 2, tôi nhầm lẫn các tính chất của số mũ, và nghĩ rằng tích là 7, vì 7 × 2 = 14 và 14/2 = 7, trong khi thực tế câu trả lời là 7/4, vì phép chia a Phân số với 2 cũng giống như nhân với 1/2, nhưng tôi đã trả lời sai và tức giận với môn toán và gọi cho Amie, và cô ấy sẽ không nói chuyện với tôi cho đến khi tôi bình tĩnh lại. Không phải lúc nào cô ấy cũng bình tĩnh. Một lần tôi nghe Benson, chồng của cô ấy, nói sau: “Tại sao bạn lại la mắng anh ấy?” Khi sự kiên nhẫn của Amie quá mỏng, tôi sẽ gọi cho Deane Yang, bạn tôi là giáo sư toán học tại NYU.
“Cách bạn nhớ các thủ tục là bạn nhớ tại sao,” ông nói.
“Tại vì?”
Ông nói: “Bởi vì mọi người học toán như một tập hợp các thủ tục. “Khi mọi thứ trở nên khó khăn, chúng sẽ lạc lối và toán học trở thành một lớp học tôn giáo. Giáo viên nói điều gì đúng và sai, và tất cả những gì bạn biết là toán học từ trên trời rơi xuống, và một nhà tiên tri nào đó đã cho bạn biết cách làm điều đó, và lúc đó đó chỉ là niềm tin mù quáng. Mục đích là để xử lý các câu hỏi có vẻ phức tạp và nhận ra rằng một câu hỏi phức tạp có thể được chia thành các câu hỏi đơn giản hơn, một số câu hỏi trong số đó có thể được trả lời độc lập với nhau. “
“Với môn toán, bạn phải rất, rất kỷ luật,” Deane nói. “Thông thường với đại số, bạn đang cố gắng làm cho điều gì đó phức tạp trở nên đơn giản hơn, nhưng thường, tạm thời, bạn phải làm cho nó phức tạp hơn. Cách duy nhất để có kỷ luật đúng đắn là ghi nhớ chính xác những gì bạn được phép làm và những gì bạn không được phép làm. Bạn phải viết mọi thứ ra giấy, từng dòng một. Toán học rất khó. ” Những nhận xét này có một sức mạnh gần giống như Thiền đối với tôi. Chúng vừa trừu tượng vừa thực tế, chúng nói lên nỗi đau khổ của tôi, và trong một thời gian, mọi thứ trở nên tốt hơn.
Tôi đã hoàn thành môn đại số bởi cảm giác rằng tôi phải làm đúng mọi vấn đề. Tôi đã bắt đầu đầy hy vọng và đã bị kìm hãm. Điều tôi mong ước là thấy đại số là hợp lý và gắn kết, và do đó lành tính, để tôi có thể xóa bỏ bí ẩn mà nó đã để lại cho tôi. Nếu tôi có thể làm được điều đó, tôi sẽ sử dụng những cách suy nghĩ thách thức tôi để mở rộng trí tuệ của mình – năng lực của tôi trong việc giải quyết các vấn đề mà giải pháp của nó đòi hỏi quản lý các ký hiệu, điều mà tôi chưa bao giờ giỏi.
Việc mở rộng phạm vi tiếp cận trí tuệ của một người không phải là loại tình huống mà một người có thể xác định theo kinh nghiệm. Người ta chỉ có thể cảm nhận nó về chính mình. Tôi cảm thấy mình đã bắt đầu thay đổi, ở một mức độ nào đó, có lẽ chỉ là một cách lướt qua, nhưng tôi cũng cảm thấy, một cách mê tín, việc thừa nhận nó có thể là điều đáng tự hào, điều này có thể dẫn đến việc nó bị thu hồi bởi bất cứ cơ quan nào mà nó ẩn chứa bên trong mê tín dị đoan. thái độ đạo đức. Dù sao thì tôi cũng đã học xong đại số, tôi đã đến phần cuối của sách giáo khoa. Nó đã mất năm tháng, không phải sáu tuần. Tuy nhiên, tôi đã học được nhiều thứ, tôi có một số kỹ năng mới, ngay cả khi những kỹ năng thô sơ. Tôi có thể làm những điều tôi không thể làm và tôi hài lòng. Thành tích không đáng kể, nhưng nó là của riêng tôi, và tôi đã nỗ lực vì nó. Tôi nâng một chiếc ly riêng lên mình và nói, “Làm tốt lắm,” vào giữa buổi chiều – sau đó tôi tiếp tục vào phần hình học.
Nhà văn Alec Wilkinson của tờ New Yorker đã phải vật lộn với các môn toán ở trường, thay vào đó là tìm cảm hứng cho văn học. Nhưng ở tuổi 65, với hy vọng mở khóa một phần não mới của mình, ông đã quyết định đặt giới hạn trí thông minh của mình để kiểm tra
Tôi không hiểu bây giờ nó có thể gây hại cho tôi như thế nào khi tiết lộ rằng tôi chỉ đậu môn toán ở trường trung học vì tôi đã gian lận. Tôi có thể cộng và trừ, nhân và chia, nhưng tôi đã bước vào vùng hoang dã khi các từ trở thành phương trình. Vào những ngày kiểm tra, tôi ngồi bên cạnh những cậu bé và cô bé thông minh có chữ viết tay mà tôi có thể đọc được và phân chia sự chú ý của tôi giữa bàn của cậu ấy hoặc cô ấy và đôi mắt của giáo viên. Để vượt qua Đại số II, tôi đã sao chép một học kỳ và suýt bị bắt. Lúc đó tôi đang đi học ở một trường nam sinh, và điều đó khiến tôi phải dừng lại khi nghĩ rằng mình có thể đã bị đuổi ra khỏi nhà và phải bắt đầu một cuộc sống khác, quen biết những người khác nhau, có những trải nghiệm khác nhau, và cuối cùng xóa bỏ con người tôi bây giờ.
Khi tôi đọc Ký ức, Giấc mơ, Suy tư, tôi cảm thấy có mối quan hệ họ hàng với Carl Jung, người đã mô tả lớp học toán là “sự khủng bố và tra tấn tuyệt đối”, vì anh ta là “amathematikos”, có nghĩa là một thứ gì đó giống như phi toán học. Bản chất tôi là một người thích tự ứng biến. Tôi đã đọc Gibbon, tôi đã đọc Proust. Tôi đọc Cựu ước và Tân ước và hầu hết Shakespeare. Tôi học tiếng Pháp. Tôi đã thiền định. Tôi chạy bộ. Tôi học vẽ bằng cách sử dụng phần não bên phải của mình. Vài năm trước, tôi quyết định xem liệu tôi có thể học toán đơn giản, toán tuổi vị thành niên, thứ mà ở thế kỷ 18 được gọi là toán học thuần túy: đại số, hình học và giải tích. Tôi không hiểu tại sao nó lại khó khăn như vậy. Có phải tôi đã bị tụt lại phía sau và không bao giờ đuổi kịp không? Tôi đã không đủ thông minh? Tôi có phải bằng cách nào đó không thích hợp để học một ngành hợp lý, phức tạp và có hệ thống không? Hay năng lực học toán giống như bất kỳ thuộc tính nào khác, tài năng về âm nhạc, chẳng hạn? Thay vì điếc giọng điệu, tôi có phải bị điếc toán học không? Và nếu tôi không và có thể sửa chữa sự thiếu hụt này, tôi có thể có khả năng gì ở tuổi 65 mà trước đây tôi không có được? Tôi hình dung toán học như một phong cảnh và bản thân tôi như đang suy ngẫm về một cuộc hành trình mà từ đó tôi có thể trở lại giống như Marco Polo, đã nhìn thấy những cảnh đẹp kỳ lạ và với những ký ức không thể mơ mộng.
* Nguồn bài viếtTư vấn du học Anh Quốc – Quốc Tế Du Học Đồng Thịnh dongthinh.co.uk (+84) 96 993.7773 | (+84) 96 1660.266 | (+44) 020 753 800 87 | info@dongthinh.co.uk
